Nej, det finns ingen betydelseskillnad utan är synonymer, det vill säga de har samma betydelse. Det går alltså bra att använda dessa ord om vartannat.

Orden båda och bägge är egentligen samma ord men utgår från olika böjningsformer. Formen båda är den ursprungliga grundformen, och bägge är den gamla genitivformen, som sedan levt kvar som en ny grundform.